Том 61, № 10 (2025)

Рассмотрены свойства предельной динамики одной пятимерной модели роста раковой опухоли в фазе ангиогенеза с дополнительным моделированием химиотерапии и иммунотерапии. Найдены предельные верхние границы для всех популяций клеток, а также нижняя граница для популяции иммунных клеток. Получены условия глобального асимптотического исчезновения опухоли в двух ситуациях: когда применяется только химиотерапия и когда используется комбинация химиотерапии и иммунотерапии. Исследование опирается на метод локализации компактных инвариантных множеств. Описаны также граничные и внутренние положения равновесия и представлены результаты численного моделирования, подтверждающие полученные аналитические результаты.

Рассмотрена задача Коши для пространственно-многомерного параболического уравнения второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами. Начальная функция принадлежит классу непрерывных и ограниченных функций, имеющих равномерно непрерывные и ограниченные пространственные производные первого порядка, правая часть уравнения может расти определённым образом при приближении к плоскости начальных данных. С помощью потенциала Пуассона и объёмного потенциала исследования гладкость решения этой задачи и получены оценки решения и его пространственных производных первого порядка.

Рассмотрена начально-краевая задача для неоднородной параболической системы с Дини-непрерывными коэффициентами с ненулевым начальным условием в ограниченной плоской области с негладкими боковыми границами, допускающими наличие “клювов”, на которых для компонент искомой вектор-функции задаются граничные условия общего вида. Доказаны теоремы о существовании и единственности классического решения поставленной задачи из пространства вектор-функций, непрерывных вместе со своей пространственной производной первого порядка в замыкании области. Дано интегральное представление и исследован характер гладкости полученного решения.

Исследован вопрос устойчивости решений класса линейных функционально-интегральных уравнений Ито, включающиего как некоторые классические уравнения (например, дифференциальные уравнения целого и дробного порядков со стохастическими возмущениями и без них), так и менее известные и малоизученные уравнения, встречающиеся в литературе в последнее время. Установлена связь между различными видами устойчивости решений этих уравнений и принадлежностью их решений соответствующим пространствам случайных процессов. С учётом этой связи получены достаточные условия устойчивости решений относительно начальных данных в терминах параметров этих уравнений. Определено понятие допустимости пар пространств для уравнений и найдена его взаимосвязь с устойчивостью по начальной функции.

Рассматриваются два подхода к решению задачи трёхосной стабилизации твёрдого тела с использованием запаздывающей обратной связи. Первый подход основывается на выборе управления в виде суммы диссипативного и восстанавливающего моментов, причём предполагается, что в восстанавливающем моменте имеется постоянное запаздывание. В этом случае для нахождения условий экспоненциальной устойчивости программного режима применяется специальная конструкция функционала Ляпунова–Красовского. Во втором подходе управление строится без использования диссипативного момента. Стабилизация обеспечивается за счёт искусственного введения запаздывания в момент восстанавливающих сил, а доказательство экспоненциальной устойчивости проводится на основе метода Разумихина.