Non-prismatic pipelines and their vibration parameters

Толық мәтін

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время очень важно оценивать вибрацию конструкций, так как она негативно сказывается на их эксплуатации. Помимо собственных частот необходимо также исследовать параметры вибрации (амплитуды смещений, внутренние усилия, опорные реакции), так как их величины определяют усталостную прочность. До недавнего времени не существовало программного комплекса отечественной разработки, позволяющего достаточно просто и быстро готовить исходные данные и выполнять расчеты указанных параметров вибрации в трубопроводе. Известны лишь аналитические решения [1–5], для некоторых достаточно простых частных случаев.

В предыдущих работах авторами настоящей статьи были созданы: математическая модель [6–9], алгоритм [10] и программа расчёта параметров вибрации [11], которая позволяет вычислять параметры вибрации в многоопорном прямолинейном непризматическом трубопроводе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Физическая модель

Физическая модель трубопровода представляет собой плоскую квазиодномерную дискретную систему, являющуюся частным случаем модели, приведенной в [6, 11]. Она является совокупностью последовательно соединённых элементов, состоящих из инерционного тела, обладающего массой, моментом инерции и центром тяжести, двух абсолютно жёстких стержней и заключённого между ними шарнира деформации. Применение квазистатической аналогии позволяет вместо динамики движения рассматривать процесс статической деформации безынерционной квазиодномерной дискретной модели, состоящей из безынерционных элементов, соединенных между собой и неподвижным основанием упругими связями, каждая из которых порождает усилия определенной структуры — пропорциональные смещению, скорости и ускорению. Внешние и внутренние сопротивления учитываются комплексностью инерционно-жесткостных характеристик модели.

Обобщенные шарниры деформаций допускают сдвиг в поперечном и продольном направлениях, а также изгиб относительно бинормали.

Математическая модель

Прежде чем перейти к расчёту, стоит напомнить о проделанных ранее этапах работы.

В предыдущих работах [9, 10] была получена формула для инерциальной нагрузки в виде:

$q(x,t)=-m_1\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-m_2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-m_2{U}^2\frac{1}{\rho }-m_{2}2U\dot{\vartheta }$. (1)

Следует заметить, что в (1) первое слагаемое — сила инерции элемента трубы, возникающая при его поперечных колебаниях; второе — сила инерции переносного движения элемента жидкости; третье — нормальная составляющая сила инерции относительного движения (центробежная сила); четвёртое — сила инерции Кориолиса.

Кроме того, было выведено дифференциальное уравнение поперечных колебаний оси трубопровода относительно начального прямолинейного положения:

$EJ\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+(m_1+m_2)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}+m_2{U}^2\frac{1}{\rho }+m_{2}2U\dot{\vartheta }=0$. (2)

Анализ уравнения (2) позволяет сделать следующие вывод. Для расчета параметров установившихся колебаний трубопровода можно воспользоваться плоским вариантом прямолинейной квазиодномерной модели, если выполнить коррекцию некоторых ее характеристик и ее модификацию (оснащение свойствами, ранее отсутствовавшими).

Коррекция и модификация математической модели

В соответствии с методом, предложенным в [7], рассмотрим и разделим на группы нагрузки, действующие на базовую плоскую квазиодномерную модель.

К первой группе отнесем слагаемые, которые можно учесть коррекцией внешней нагрузкой, прикладываемой к квазистатической модели (в данной работе такие нагрузки отсутствуют).

Ко второй группе относят слагаемые, прямо пропорциональные абсолютным и (или) относительным смещениям, скоростям и ускорениям, действие которых можно учесть коррекцией существующих инерционно-жесткостных характеристик квазиодномерной модели.

К третьей группе относят слагаемые, прямо пропорциональные абсолютным и (или) относительным смещениям, скоростям и ускорениям, действие которых можно учесть модификацией инерционно-жесткостных характеристик квазиодномерной модели (иными словами — оснастить модель новыми, ранее отсутствовавшими у нее, свойствами).

К четвёртой группе — слагаемые, которые учитываются непосредственно при выводе формул для парциальных откликов и парциальных параметров при “прохождении” подэлемента длинной ℓ.

В [8, 9] были выведены формулы для парциальных откликов (ПО) и парциальных параметров (ПП) для второго и четвертого слагаемых из (2), а в [10] — для третьего слагаемого, в результате чего удалось избавиться от выполнения последовательных приближений. Выражения для ПО и ПП представляют собой математическую модель задачи, полученную методом парциальных откликов в его дискретном варианте [5, 6, 11]. Для полученной математической была разработана усовершенствованная программа расчёта параметров вибрации трубопровода [10], учитывающая автоматически влияние всех вышеуказанных факторов.

Цель работы

Цель работы — оценить влияние непризматичности трубопровода на параметры его вибрации.

Для исследования были взяты 5 трёхпролётных четырехопорных трубопровода (рис. 1):

• Трубопровод №1 — непризматический прямолинейный трубопровод диаметром 20 мм с уменьшенным диаметром сечения в середине 10 мм.
• Трубопровод №2 — непризматический прямолинейный трубопровод диаметром 20 мм с уменьшенным диаметром сечения в середине 15 мм.
• Трубопровод №3 — призматический прямолинейный трубопровод диаметром 20 мм.
• Трубопровод №4 — непризматический прямолинейный трубопровод диаметром 20 мм с увеличенным диаметром сечения в середине 25 мм.
• Трубопровод №5 — непризматический прямолинейный трубопровод диаметром 20 мм с увеличенным диаметром сечения в середине 30 мм.

Все пять трубопроводов изготовлены из стали плотностью 7800 кг/м³ с модулем упругости 2,1·10¹¹ Па, плотность протекающей жидкости 1000 кг/м³ для каждого трубопровода. Толщина всех трубопроводов равна 1 мм.

Все трубопроводы длинной 3 м состоят из равных пролётов по одному метру. На левом и правом пролётах диаметр всех трубопроводов равен 20 мм. В срединном пролёте на отрезке величиной 0,7 м трубопроводы имеют разный диаметр — 10 мм, 15 мм, 20 мм, 25 мм, 30 мм (рис. 1), он находится на расстоянии 0,15 м от опор.

 

Рис. 1. Схема моделей трубопроводов.

Fig. 1. Pipeline model structure.

 

Ко всем трубопроводам приложена гармонически изменяющаяся во времени сила P, амплитудное значение которой равно 50 Н; сила приложена на расстоянии одной трети метра от крайней левой опоры (рис. 1). Жёсткости опор в поперечном направлении приняты 10⁹ Н/м.

Задача численного исследования для всех трубопроводов — найти критические скорости и первые собственные частоты при скорости движения жидкости 0, 10, 20 и 30 м/с, а также амплитуды параметров вибрации в характерных точках.

Ниже расчетным путем найдены параметры вибрации всех трубопроводов при частотах вынуждающего воздействия, соответствующих 0,5 и 0,75 значения их первых собственных частот, определенных для указанных выше скоростей жидкости на входе в трубопровод.

Решение в программе «Трубопровод-2»

Расчёт проводился в программе «трубопровод-2», которая позволяет вычислять параметры вибрации в непризматическом прямолинейном многоопорном трубопроводе.

Все пять трубопроводов были смоделированы в программе «Трубопровод-2» с описанными выше начальными данными.

На рис. 2, 4 для примера показаны модели трубопровода № 2 — непризматического с зауженным диаметром сечения в середине равным 15 мм и трубопровода № 4 — непризматического с увеличенным диаметром сечения в середине равным 25 мм соответственно.

Кроме того, на рис. 3, 5 представлены окна ввода начальных данных для трубопроводов № 2 и № 4 соответственно.

 

Рис. 2. Модель трубопровода №2.

Fig. 2. Pipeline model 2.

 

Рис. 3. Окно ввода начальных данных для трубопровода №2.

Fig. 3. Input entry window for pipeline 2.

 

Рис. 4. Модель трубопровода №4.

Fig. 4. Pipeline model 4.

 

Рис. 5. Окно ввода начальных данных для трубопровода №4.

Fig. 5. Input entry window for pipeline 4.

 

Далее, были найдены критические скорости движения жидкости, представленные в таблице 1.

 

Таблица 1. Значения критических скоростей

Table 1. Critical speeds

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
Vкр, м/с	47	103	148	172	184

 

Для всех трубопроводов были найдены первые собственной частоты и их значения, умноженные на коэффициент 0,5 и 0,75 при скоростях 0 м/с (табл. 2), 10 м/с (табл. 3), 20 м/с (табл. 4) и 30 м/с (табл. 5).

 

Таблица 2. Значения первой собственной частоты при скорости жидкости 0 м/с

Table 2. Fundamental frequency at fluid velocity of 0 m/s

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
λ, рад/с	253,0	259,0	274,0	294,0	316,0
0,5·λ, рад/с	126,5	129,5	137,0	147,0	158,0
0,75·λ, рад/с	189,8	194,3	205,5	220,5	237,0

 

Таблица 3. Значения первой собственной частоты при скорости жидкости 10 м/с

Table 3. Fundamental frequency at fluid velocity of 10 m/s

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
λ, рад/с	249,4	257,4	273,0	293,5	314,9
0,5·λ, рад/с	124,7	128,7	136,5	146,8	157,5
0,75·λ, рад/с	187,0	193,0	204,8	220,1	236,2

 

Таблица 4. Значения первой собственной частоты при скорости жидкости 20 м/с

Table 4. Fundamental frequency at fluid velocity of 20 m/s

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
λ, рад/с	237,8	254,0	271,1	292,1	313,7
0,5·λ, рад/с	118,9	127,0	135,6	146,1	156,9
0,75·λ, рад/с	178,4	190,5	203,3	219,0	235,3

 

Таблица 5. Значения первой собственной частоты при скорости жидкости 30 м/с

Table 5. Fundamental frequency at fluid velocity of 30 m/s

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
λ, рад/с	213	248,2	267,9	289,7	311,5
0,5·λ, рад/с	106,5	124,1	134	144,9	155,8
0,75·λ, рад/с	159,8	186,2	200,9	217,3	233,6

 

После чего, были найдены параметры вибрации в средней части среднего пролета в точке x = 1,511 м при новых значениях частоты вынуждающего воздействия. В табл. 6 и 7 представлены вертикальные смещения (прогибы) при частоте вынуждающего воздействия 0,5 и 0,75 от первой собственной частоты λ соответственно.

 

Таблица 6. Вертикальные смещения (прогибы) при частоте вынуждающего воздействия 0,5·λ, мм

Table 6. Vertical displacements (deflections) at forcing frequency of 0,5·λ, mm

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,5·λ при Vж = 0 м/с	1,80	1,59	1,54	1,33	1,26
0,5·λ при Vж = 10 м/с	1,81	1,60	1,55	1,33	1,27
0,5·λ при Vж = 20 м/с	1,85	1,62	1,56	1,35	1,28
0,5·λ при Vж = 30 м/с	1,95	1,66	1,59	1,37	1,29

 

Таблица 7. Вертикальные смещения (прогибы) при частоте вынуждающего воздействия 0,75·λ, мм

Table 7. Vertical displacements (deflections) at forcing frequency of 0,75·λ, mm

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,75·λ при Vж = 0 м/с	2,67	2,33	2,31	1,92	1,85
0,75·λ при Vж = 10 м/с	2,68	2,33	2,31	1,93	1,85
0,75·λ при Vж = 20 м/с	2,70	2,35	2,33	1,94	1,86
0,75·λ при Vж = 30 м/с	2,88	2,40	2,37	1,98	1,89

 

По полученным значениям, представленным в таблицах 6, 7 были построены графики зависимости вертикальных смещений от диаметра сечения трубопровода в срединной части — 10, 15, 20, 25, 30 мм, при различных скоростях движения жидкости — 0, 10, 20, 30 м/с (рис. 6).

 

Рис. 6. Графики зависимости вертикальных смещений от диаметра трубопровода.

Fig. 6. Dependence graphs (vertical displacement and pipeline diameter).

 

В табл. 8 и 9 представлены значения поперечных сил при частоте вынуждающего воздействия 0,5 и 0,75 от первой собственной частоты λ соответственно.

 

Таблица 8. Поперечная сила при частоте вынуждающего воздействия 0,5·λ, Н·10¹

Table 8. Transverse force at forcing frequency of 0,5·λ, N·10¹

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,5·λ при Vж = 0 м/с	3,79	3,58	3,52	3,35	3,31
0,5·λ при Vж = 10 м/с	3,81	3,59	3,53	3,36	3,32
0,5·λ при Vж = 20 м/с	3,85	3,62	3,57	3,39	3,35
0,5·λ при Vж = 10 м/с	3,94	3,69	3,63	3,44	3,40

 

Таблица 9. Поперечная сила при частоте вынуждающего воздействия 0,75·λ, Н·10¹

Table 9. Transverse force at forcing frequency of 0,75·λ, N·10¹

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,75·λ при Vж = 0 м/с	5,35	4,94	4,98	4,63	4,73
0,75·λ при Vж = 10 м/с	5,33	4,94	4,98	4,65	4,72
0,75·λ при Vж = 20 м/с	5,31	4,98	5,03	4,69	4,75
0,75·λ при Vж = 30 м/с	5,25	5,06	5,11	4,77	4,80

 

По полученным в результате расчёта значениям, представленным в табл. 8, 9 были построены графики зависимости поперечных сил от диаметра сечения трубопровода в срединной части — 10, 15, 20, 25, 30 мм, при различных скоростях движения жидкости — 0, 10, 20, 30 м/с (рис. 7).

 

Рис. 7. Зависимости поперечных сил от диаметра трубопровода.

Fig. 7. Relationships between transverse forces and pipeline diameter.

 

Также были вычислены значения опорных реакций на второй опоре от левого конца трубопровода в точке x = 1 м при частоте вынуждающего воздействия 0,5 и 0,75 от первой собственной частоты λ, полученные значения представлены в табл. 10 и 11 соответственно.

 

Таблица 10. Опорные реакции при частоте вынуждающего воздействия 0,5·λ, Н

Table 10. Support reaction at forcing frequency of 0,5·λ, N

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,5·λ при Vж = 0 м/с	24,8	30,0	30,6	32,6	34,4
0,5·λ при Vж = 10 м/с	24,3	28,2	30,6	32,8	34,4
0,5·λ при Vж = 20 м/с	22,6	27,8	30,7	32,8	34,6
0,5·λ при Vж = 10 м/с	17,2	26,4	30,8	33,0	34,6

 

Таблица 11. Опорные реакции при частоте вынуждающего воздействия 0,75·λ, Н

Table 11. Support reaction at forcing frequency of 0,75·λ, N

Трубопроводы	№1	№2	№3	№4	№5
0,75·λ при Vж = 0 м/с	36,3	36,9	38,1	40,8	44,3
0,75·λ при Vж = 10 м/с	34,8	36,2	38,1	41,0	44,2
0,75·λ при Vж = 20 м/с	29,9	35,4	38,1	41,0	44,5
0,75·λ при Vж = 30 м/с	19,0	34,1	38,2	41,3	44,9

 

По полученным значениям, представленным в таблицах 10, 11 были построены графики зависимости опорных реакций от диаметра сечения трубопровода в срединной части — 10, 15, 20, 25, 30 мм, при различных скоростях движения жидкости — 0, 10, 20, 30 м/с (рис. 8).

 

Рис. 8. Графики зависимости опорных реакций от диаметра трубопровода.

Fig. 8. Dependence graphs (support reaction and pipeline diameter).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненного исследования для каждого из трубопроводов были найдены критические скорости, первые собственные частоты при различных скоростях движения жидкости и параметры вибрации (вертикальные смещения и поперечные силы).

Анализ результатов численного исследования показал, что при увеличении диаметра трубопровода критическая скорость жидкости и первая собственная частота трубопровода увеличиваются. При увеличении скорости движения жидкости значение первой собственной частоты уменьшается.

Анализируя полученные результаты, можно заключить, что при увеличении диаметра трубопровода параметры вибрации уменьшаются, это наглядно видно при частоте вынуждающего воздействия равной 0,5 и 0,75 от первой собственной частоты каждого из рассмотренных трубопроводов. Это обусловлено, на наш взгляд, увеличением жесткости трубопровода при увеличении диаметра его средней части.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Д.А. Николаев — создание расчётной программы; А.Л. Мелконян — поиск публикаций по теме статьи, анализ и создание теоретического материала; С.А. Яремчук — участие в отладки программы расчёта, проведение расчётов, написание текста рукописи, создание изображений; А.Л. Мелконян — написание и редактирование текста рукописи; А.Л. Мелконян — экспертная оценка, утверждение финальной версии. Все авторы одобрили рукопись (версию для публикации), а также согласились нести ответственность за все аспекты работы, гарантируя надлежащее рассмотрение и решение вопросов, связанных с точностью и добросовестностью любой её части.

Источники финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовали.

ADDITIONAL INFO

Author contributions: D.A. Nikolaev: software; A.L. Melkonyan: investigation, formal analysis; writing—review & editing; S.A. Yaremchuk: software, validation, writing—original draft, visualization. All the authors approved the version of the manuscript to be published and agreed to be accountable for all aspects of the work, ensuring that questions related to the accuracy or integrity of any part of the work are appropriately investigated and resolved.

Funding sources: The study was not supported by any external sources.

Disclosure of interests: The authors have no explicit or potential conflicts of interests associated with the publication of this article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Авторлар туралы

Armen L.

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: mel1950@mail.ru

Cand. Sci (Engineering), Associated Professor, Professor of Theoretical Mechanics and Material Strength Department

Ресей, Saint Petersburg

Dmitriy Nikolaev

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: D.Nikolaev@d-nik.de

Cand. Sci (Engineering), a pensioner

Ресей, Saint Petersburg

Sergey Yaremchuk

Saint Petersburg State Marine Technical University

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: remeyak@yandex.ru

master’s student

Ресей, Saint Petersburg

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар