В теории приближения функций есть немало результатов, связанных с так называемыми теоремами сравнения и неравенствами для производных на различных классах дифференцируемых функций. В дальнейшем будем рассматривать класс дифференцируемых функций с абсолютно непрерывной производной на любом отрезке прямой и существенно ограниченной производной старшего порядка. В статье [1] нами были даны оценки быстродействия действительных дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями на вторую производную. Затем в статье [2] полученные результаты были распространены на класс комплекснозначных дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями на вторую производную. Был рассмотрен случай, когда областью изменения производной второго порядка является эллипс, один из фокусов которого находится в начале координат. Следует отметить, что задача оценки быстродействия действительных или комплекснозначных функций тесно связана с задачей оценки норм производных таких функций. Оказалось, что в этом случае норму производной ограниченной по норме комплекснозначной функции можно оценить через сплайны Бернулли, которые были использованы в [5], или сплайны Эйлера [3]. В данной статье получена двусторонняя оценка нормы производной комплекснозначной дифференцируемой функции с несимметричными ограничениями на производную второго порядка, а именно, рассмотрен случай, когда областью изменения производной второго порядка является некоторое выпуклое множество комплексной плоскости. Если в это множество вписать некоторый эллипс, один из фокусов которого находится в начале координат, и описать вокруг этого множества другой такой эллипс, то можно получить двустороннюю оценку нормы производной ограниченной комплекснозначной функции. В связи с этим возникает задача нахождения эллипсов, наилучшим образом охватывающих границу заданного выпуклого множества. Для получения такого наилучшего вписанного эллипса можно использовать в качестве критерия максимизацию большой полуоси и минимизацию расстояния от начала координат до фокуса. Для получения наилучшего описанного эллипса можно использовать в качестве критерия минимизацию большой полуоси и максимизацию расстояния от начала координат до фокуса. Решение такой задачи позволит минимизировать разницу между верхней и нижней оценкой нормы производной. В настоящей статье двусторонняя оценка нормы производной ограниченной комплекснозначной функции получена в предположении, что относительно ограниченной выпуклой области изменения производной второго порядка вписанный и описанный эллипсы, наилучшим образом охватывающие границу этой области, построены. Таким образом, двусторонняя оценка нормы производной ограниченной комплекснозначной функции с выпуклой областью изменения производной второго порядка выражена через норму самой функции и размеры эллипсов, охватывающих границу выпуклой области.
сплайны Эйлера, теоремы сравнения, оценка нормы производной
1. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия динамического процесса на классе дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями // Вестник Нижневартовского гос. ун-та. - 2013. - № 3. - С. 32-37.
2. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия комплекснозначных функций с эллиптической областью изменения производной второго порядка // Математические структуры и моделирование. - 2015. - № 1 (33). - С. 32-37.
3. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Учен. зап. Моск. ун-та. - 1938. - Вып. 30. Математика. - Кн. 3. - С. 3-16.
4. Hadamard J. Sur le module maximum d’une function et de ses derives // Soc. Math. France. Comptes rendus des Seanses. - 1914. - 41. - P. 68-72.
5. Hörmander L. A new proof and generalization of an inequality of Boor // Math. Scand. - 1954. - Vol. 2. - № 1. - Р. 33-45.
