Evaluating the norm of the complex-valued function derivative with the convex domain of variation of the second order derivative

Full Text

Пусть означает класс заданных на всей числовой прямой комплекснозначных дифференцируемых функций с абсолютно непрерывной производной на любом отрезке из и существенно ограниченной производной второго порядка, причем , . Областью изменения комплекснозначной функции является центральный круг радиуса . Областью изменения производной второго порядка функций класса является некоторое выпуклое множество , содержащее начало координат. Введем в рассмотрение сплайны Бернулли , , (1) ( - специально подобранные параметры под заданные ограничения функции), которые в случае r = 2 были использованы в [5] для доказательства точного неравенства между производными действительной дифференцируемой функции с несимметричными ограничениями на производную второго порядка. Рассмотрим также совершенные сплайны Эйлера, , , (2) ( - специально подобранный параметр под заданные ограничения функции), примененные в [3] при доказательстве теоремы сравнения и точного неравенства между производными действительной дифференцируемой функции с симметричными ограничениями на производную n-го порядка. Ясно, что параболические сплайны Эйлера , , (3) являются частным случаем приведенных выше сплайнов Бернулли , , (4) при r = 2. Для получения двусторонней оценки нормы производной ограниченной комплекснозначной функции с областью изменения производной второго порядка в виде некоторого выпуклого множества комплексной плоскости нам понадобится алгебраическая форма сплайнов Эйлера второго порядка: , (5) где - константа Фавара. Рассмотрим эллипс , где - его большая полуось, а - расстояние от начала координат до фокуса. Пусть прямая проходит через начало координат и точки на этом эллипсе (см. рис. 1). Рис. 1 Ясно, что областью изменения производной второго порядка функции будет отрезок [] (точнее, сами границы этого отрезка). В [2] было доказано, что при любом (или ) справедливо равенство: . Это означает, что независимо от наклона прямой левая часть этого равенства сохраняет постоянное значение, равное диаметру эллипса. Следовательно, в качестве функций сравнения для получения оценок норм производных функций заданного класса можно использовать сплайны Бернулли, когда отрезок [] совпадает с диаметром эллипса, или сплайны Эйлера, когда этот отрезок лежит на мнимой оси (см. рис. 1). Рассмотрим два эллипса , , где - большая полуось эллипса , - расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса, а - большая полуось эллипса , - расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса. Будем считать, что эллипс наилучшим образом вписан в заданную выпуклую область (например, по критерию , ), а эллипс наилучшим образом описан вокруг области (например, по критерию ,). Рис. 2 Необходимо оценить норму производной при заданных ограничениях на области изменения самой функции и ее производной . Рассмотрим функции , (6) где , , , (7) где , . В соответствии с рисунком 1 областью изменения функций и будут отрезки [] и [] соответственно. Теорема. Пусть такова, что . Тогда . (8) Подсчитаем нормы производных функций и . Из (6) и (7) получаем: , (9) . (10) Отсюда . Подставляя и из (6) и (7) в (8), приходим к следующим выражениям: . (11) Из уравнений описанного и вписанного эллипсов ,нетрудно получить выражения модулей комплексных чисел через размеры этих эллипсов: (12) Таким образом, неравенство (8) в приведенной выше теореме с учетом (11) и (12) можно уточнить так: Если выпуклая область является кругом радиуса то приходим к известному неравенству Адамара [4]:

About the authors

N. P Dmitriev

Nizhnevartovsk State University

Email: dnp4@yandex.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Education in Mathematics

References