Оценка нормы производной комплекснозначной функции с выпуклой областью изменения производной второго порядка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В теории приближения функций есть немало результатов, связанных с так называемыми теоремами сравнения и неравенствами для производных на различных классах дифференцируемых функций. В дальнейшем будем рассматривать класс дифференцируемых функций с абсолютно непрерывной производной на любом отрезке прямой и существенно ограниченной производной старшего порядка. В статье [1] нами были даны оценки быстродействия действительных дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями на вторую производную. Затем в статье [2] полученные результаты были распространены на класс комплекснозначных дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями на вторую производную. Был рассмотрен случай, когда областью изменения производной второго порядка является эллипс, один из фокусов которого находится в начале координат. Следует отметить, что задача оценки быстродействия действительных или комплекснозначных функций тесно связана с задачей оценки норм производных таких функций. Оказалось, что в этом случае норму производной ограниченной по норме комплекснозначной функции можно оценить через сплайны Бернулли, которые были использованы в [5], или сплайны Эйлера [3]. В данной статье получена двусторонняя оценка нормы производной комплекснозначной дифференцируемой функции с несимметричными ограничениями на производную второго порядка, а именно, рассмотрен случай, когда областью изменения производной второго порядка является некоторое выпуклое множество комплексной плоскости. Если в это множество вписать некоторый эллипс, один из фокусов которого находится в начале координат, и описать вокруг этого множества другой такой эллипс, то можно получить двустороннюю оценку нормы производной ограниченной комплекснозначной функции. В связи с этим возникает задача нахождения эллипсов, наилучшим образом охватывающих границу заданного выпуклого множества. Для получения такого наилучшего вписанного эллипса можно использовать в качестве критерия максимизацию большой полуоси и минимизацию расстояния от начала координат до фокуса. Для получения наилучшего описанного эллипса можно использовать в качестве критерия минимизацию большой полуоси и максимизацию расстояния от начала координат до фокуса. Решение такой задачи позволит минимизировать разницу между верхней и нижней оценкой нормы производной. В настоящей статье двусторонняя оценка нормы производной ограниченной комплекснозначной функции получена в предположении, что относительно ограниченной выпуклой области изменения производной второго порядка вписанный и описанный эллипсы, наилучшим образом охватывающие границу этой области, построены. Таким образом, двусторонняя оценка нормы производной ограниченной комплекснозначной функции с выпуклой областью изменения производной второго порядка выражена через норму самой функции и размеры эллипсов, охватывающих границу выпуклой области.

Полный текст

Пусть означает класс заданных на всей числовой прямой комплекснозначных дифференцируемых функций с абсолютно непрерывной производной на любом отрезке из и существенно ограниченной производной второго порядка, причем , . Областью изменения комплекснозначной функции является центральный круг радиуса . Областью изменения производной второго порядка функций класса является некоторое выпуклое множество , содержащее начало координат. Введем в рассмотрение сплайны Бернулли , , (1) ( - специально подобранные параметры под заданные ограничения функции), которые в случае r = 2 были использованы в [5] для доказательства точного неравенства между производными действительной дифференцируемой функции с несимметричными ограничениями на производную второго порядка. Рассмотрим также совершенные сплайны Эйлера, , , (2) ( - специально подобранный параметр под заданные ограничения функции), примененные в [3] при доказательстве теоремы сравнения и точного неравенства между производными действительной дифференцируемой функции с симметричными ограничениями на производную n-го порядка. Ясно, что параболические сплайны Эйлера , , (3) являются частным случаем приведенных выше сплайнов Бернулли , , (4) при r = 2. Для получения двусторонней оценки нормы производной ограниченной комплекснозначной функции с областью изменения производной второго порядка в виде некоторого выпуклого множества комплексной плоскости нам понадобится алгебраическая форма сплайнов Эйлера второго порядка: , (5) где - константа Фавара. Рассмотрим эллипс , где - его большая полуось, а - расстояние от начала координат до фокуса. Пусть прямая проходит через начало координат и точки на этом эллипсе (см. рис. 1). Рис. 1 Ясно, что областью изменения производной второго порядка функции будет отрезок [] (точнее, сами границы этого отрезка). В [2] было доказано, что при любом (или ) справедливо равенство: . Это означает, что независимо от наклона прямой левая часть этого равенства сохраняет постоянное значение, равное диаметру эллипса. Следовательно, в качестве функций сравнения для получения оценок норм производных функций заданного класса можно использовать сплайны Бернулли, когда отрезок [] совпадает с диаметром эллипса, или сплайны Эйлера, когда этот отрезок лежит на мнимой оси (см. рис. 1). Рассмотрим два эллипса , , где - большая полуось эллипса , - расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса, а - большая полуось эллипса , - расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса. Будем считать, что эллипс наилучшим образом вписан в заданную выпуклую область (например, по критерию , ), а эллипс наилучшим образом описан вокруг области (например, по критерию ,). Рис. 2 Необходимо оценить норму производной при заданных ограничениях на области изменения самой функции и ее производной . Рассмотрим функции , (6) где , , , (7) где , . В соответствии с рисунком 1 областью изменения функций и будут отрезки [] и [] соответственно. Теорема. Пусть такова, что . Тогда . (8) Подсчитаем нормы производных функций и . Из (6) и (7) получаем: , (9) . (10) Отсюда . Подставляя и из (6) и (7) в (8), приходим к следующим выражениям: . (11) Из уравнений описанного и вписанного эллипсов ,нетрудно получить выражения модулей комплексных чисел через размеры этих эллипсов: (12) Таким образом, неравенство (8) в приведенной выше теореме с учетом (11) и (12) можно уточнить так: Если выпуклая область является кругом радиуса то приходим к известному неравенству Адамара [4]:
×

Об авторах

Н. П Дмитриев

ФГБОУ ВПО «Нижневартовский государственный университет»

Email: dnp4@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математического образования.

Список литературы

  1. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия динамического процесса на классе дифференцируемых функций с несимметричными ограничениями // Вестник Нижневартовского гос. ун-та. - 2013. - № 3. - С. 32-37.
  2. Дмитриев Н.П. Оценка быстродействия комплекснозначных функций с эллиптической областью изменения производной второго порядка // Математические структуры и моделирование. - 2015. - № 1 (33). - С. 32-37.
  3. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Учен. зап. Моск. ун-та. - 1938. - Вып. 30. Математика. - Кн. 3. - С. 3-16.
  4. Hadamard J. Sur le module maximum d’une function et de ses derives // Soc. Math. France. Comptes rendus des Seanses. - 1914. - 41. - P. 68-72.
  5. Hörmander L. A new proof and generalization of an inequality of Boor // Math. Scand. - 1954. - Vol. 2. - № 1. - Р. 33-45.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.